开篇：微积分的"世纪之争"

数学史趣闻：牛顿与莱布尼茨的优先权之争

17世纪末，牛顿和莱布尼茨几乎同时独立发明了微积分。牛顿用"流数术"，莱布尼茨发明了dx、dy和∫符号。两人吵了几十年，现在我们知道他们都是微积分的创始人！

定积分，其实就是"曲线下的面积"。从求不规则图形面积，到计算变力做功，定积分就像数学界的"瑞士军刀"！

🤣 数学冷笑话：为什么定积分符号∫长得像拉长的S？因为它在说："Sum（求和）！我就是来求和的！"

开篇思考题

1. 为什么牛顿和莱布尼茨的微积分符号不同？这反映了他们什么样的数学思想？

2. 定积分除了计算面积，还能解决哪些实际问题？请举例说明。

思考提示：

1. 牛顿的"流数术"强调变化率，莱布尼茨的符号强调微小变化。符号不同反映了他们对微积分本质的不同理解。

2. 定积分可以计算：变力做功、液体压力、曲线弧长、旋转体体积、质心位置、概率密度函数下的概率等。

定积分的定义：从"分割"到"求和"的哲学

1. 定积分的定义

设函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上有界，将区间分割成\(n\)个小区间，作和式：

$$\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$$

当最大区间长度\(\lambda \to 0\)时，和式的极限称为定积分：

$$\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$$

可视化理解：定积分就是"无穷细分"的过程

当前分割数：4 · 矩形面积和：0 · 实际积分值：0

练习题1.1：理解定义

用定积分的定义表示曲线\(y=x^3\)在区间\([0,1]\)上与x轴围成的面积。

解：\(\int_0^1 x^3 dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \left(\frac{i}{n}\right)^3 \cdot \frac{1}{n}\)

练习题1.2：计算极限

用定积分定义计算极限：\(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \sqrt{1 + \frac{i}{n}}\)

解：原式 = \(\int_0^1 \sqrt{1+x} dx = \frac{2}{3}(1+x)^{3/2} \big|_0^1 = \frac{2}{3}(2\sqrt{2} - 1)\)

练习题1.3：综合应用

用定积分的定义计算 \(\int_{0}^{1} (2x+1) dx\)，并与几何方法计算结果进行比较。

解：将区间[0,1]n等分，\(\Delta x = \frac{1}{n}\)，取\(\xi_i = \frac{i}{n}\)

\[\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left(2\cdot\frac{i}{n}+1\right) \cdot \frac{1}{n} = \frac{2}{n^2}\sum_{i=1}^{n} i + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} 1\]

\[= \frac{2}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 1 = \frac{n+1}{n} + 1\]

当\(n \to \infty\)时，极限为\(1+1=2\)

几何验证：这是梯形面积，上底1，下底3，高1，面积=\(\frac{1+3}{2}×1=2\)

定积分的性质

1. 线性性质

$$\int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx$$

2. 区间可加性

$$\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$$

3. 积分不等式

若在\([a,b]\)上\(f(x) \leq g(x)\)，则\(\int_a^b f(x) dx \leq \int_a^b g(x) dx\)

练习题2.1：线性性质

已知\(\int_0^1 f(x)dx = 2\)，\(\int_0^1 g(x)dx = 3\)，求\(\int_0^1 [3f(x) - 2g(x)]dx\)

解：原式 = \(3\int_0^1 f(x)dx - 2\int_0^1 g(x)dx = 3×2 - 2×3 = 0\)

练习题2.2：区间可加性

已知\(\int_0^2 f(x)dx = 5\)，\(\int_1^3 f(x)dx = 6\)，\(\int_1^2 f(x)dx = 2\)，求\(\int_0^3 f(x)dx\)

解：\(\int_0^3 f(x)dx = \int_0^1 f(x)dx + \int_1^2 f(x)dx + \int_2^3 f(x)dx\)

由已知：\(\int_0^1 f(x)dx = 5-2=3\)，\(\int_2^3 f(x)dx = 6-2=4\)

所以原式 = \(3+2+4=9\)

练习题2.3：积分不等式

证明：\(0 \leq \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{1+x^2} dx \leq \int_0^{\pi/2} \sin x dx\)

证明：在\([0, \pi/2]\)上，\(0 \leq \frac{1}{1+x^2} \leq 1\)

所以\(0 \leq \frac{\sin x}{1+x^2} \leq \sin x\)

由积分不等式性质：\(0 \leq \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{1+x^2} dx \leq \int_0^{\pi/2} \sin x dx\)

证毕。

变限积分求导

变限积分求导公式

$$\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt = f(x)$$
$$\frac{d}{dx} \int_{u(x)}^{v(x)} f(t) dt = f[v(x)] \cdot v'(x) - f[u(x)] \cdot u'(x)$$

🚴 外卖小哥比喻：送到上限家（带入上限）要跑快点（乘导），从下限家（带入下限）出发也要跑快点（乘导），但方向相反（减）！

变限积分可视化：面积函数的变化率

当前：Φ(x) = ∫₀^x t² dt · Φ'(x) = x² · 当前x值：1.00

练习题3.1：基本求导

求\(\frac{d}{dx} \int_0^{x^2} \cos t dt\)

解：\(\frac{d}{dx} \int_0^{x^2} \cos t dt = \cos(x^2) \cdot (x^2)' = 2x \cos(x^2)\)

练习题3.2：上下限都是函数

求\(\frac{d}{dx} \int_{\sin x}^{\cos x} e^{t^2} dt\)

解：原式 = \(e^{\cos^2 x} \cdot (\cos x)' - e^{\sin^2 x} \cdot (\sin x)'\)

= \(-e^{\cos^2 x} \sin x - e^{\sin^2 x} \cos x\)

练习题3.3：综合应用

设\(F(x) = \int_0^{x^2} (x-t) \sin t dt\)，求\(F'(x)\)。

解：注意被积函数中含有x，不能直接套公式！

先拆分：\(F(x) = x\int_0^{x^2} \sin t dt - \int_0^{x^2} t \sin t dt\)

\(F'(x) = \int_0^{x^2} \sin t dt + x \cdot \sin(x^2) \cdot 2x - x^2 \sin(x^2) \cdot 2x\)

= \(\int_0^{x^2} \sin t dt + 2x^2 \sin(x^2) - 2x^3 \sin(x^2)\)

= \(\int_0^{x^2} \sin t dt + 2x^2(1-x) \sin(x^2)\)

定积分的两大"神器"：换元法与分部积分法

换元积分法

$$\int_a^b f(x) dx = \int_\alpha^\beta f[\varphi(t)] \varphi'(t) dt$$

分部积分法

$$\int_a^b u dv = uv \big|_a^b - \int_a^b v du$$

换元法练习题

练习题4.1：凑微分法

计算 \(\int_0^{\pi/2} \sin^3 x \cos x dx\)

解：令\(u = \sin x\)，则\(du = \cos x dx\)

当\(x=0\)时，\(u=0\)；当\(x=\pi/2\)时，\(u=1\)

原式 = \(\int_0^1 u^3 du = \frac{1}{4}u^4 \big|_0^1 = \frac{1}{4}\)

练习题4.2：第二类换元法

计算 \(\int_0^1 \sqrt{1 - x^2} dx\)

解：令\(x = \sin t\)，则\(dx = \cos t dt\)

当\(x=0\)时，\(t=0\)；当\(x=1\)时，\(t=\pi/2\)

原式 = \(\int_0^{\pi/2} \cos^2 t dt = \frac{\pi}{4}\)

练习题4.3：综合换元

计算 \(\int_0^{\ln 2} \sqrt{e^x - 1} dx\)

解：令\(t = \sqrt{e^x - 1}\)，则\(t^2 = e^x - 1\)，\(e^x = t^2+1\)

\(dx = \frac{2t}{t^2+1} dt\)，当\(x=0\)时，\(t=0\)；当\(x=\ln 2\)时，\(t=1\)

原式 = \(\int_0^1 t \cdot \frac{2t}{t^2+1} dt = 2\int_0^1 \left(1 - \frac{1}{t^2+1}\right) dt\)

= \(2\left[t - \arctan t\right]_0^1 = 2 - \frac{\pi}{2}\)

分部积分法练习题

练习题4.4：降幂型

计算 \(\int_0^1 x^2 e^x dx\)

解：令\(u = x^2\)，\(dv = e^x dx\)，则\(du = 2x dx\)，\(v = e^x\)

原式 = \(x^2 e^x \big|_0^1 - 2\int_0^1 x e^x dx = e - 2\left(x e^x \big|_0^1 - \int_0^1 e^x dx\right)\)

= \(e - 2\left(e - (e-1)\right) = e - 2\)

练习题4.5：循环型

计算 \(\int e^{2x} \sin x dx\)

解：设\(I = \int e^{2x} \sin x dx\)

分部得：\(I = \frac{1}{2}e^{2x} \sin x - \frac{1}{2}\int e^{2x} \cos x dx\)

再分部：\(I = \frac{1}{2}e^{2x} \sin x - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}e^{2x} \cos x + \frac{1}{2}I\right)\)

解得：\(I = \frac{1}{5}e^{2x}(2\sin x - \cos x) + C\)

练习题4.6：递推公式

设\(I_n = \int x^n e^x dx\)，建立递推公式并计算\(I_3\)

解：\(I_n = x^n e^x - n\int x^{n-1} e^x dx = x^n e^x - n I_{n-1}\)

\(I_3 = x^3 e^x - 3I_2 = x^3 e^x - 3(x^2 e^x - 2I_1)\)

= \(x^3 e^x - 3x^2 e^x + 6(x e^x - I_0)\)

= \(x^3 e^x - 3x^2 e^x + 6x e^x - 6e^x + C\)

= \(e^x(x^3 - 3x^2 + 6x - 6) + C\)

积分中值定理

积分第一中值定理

$$\int_a^b f(x) dx = f(\xi)(b-a) \quad (\xi \in [a,b])$$

积分中值定理可视化

函数：x² · 平均值：0 · ξ点：尚未计算

练习题5.1：基本应用

设\(f(x)\)在\([0,1]\)上连续，且\(\int_0^1 f(x)dx = 3\)，证明存在\(\xi \in [0,1]\)使\(f(\xi)=3\)

证明：由积分中值定理，存在\(\xi \in [0,1]\)，使得

\(\int_0^1 f(x)dx = f(\xi)(1-0) = f(\xi)\)

已知左边=3，所以\(f(\xi)=3\)，证毕。

练习题5.2：估值应用

估计积分\(\int_0^1 e^{-x^2} dx\)的值

解：在\([0,1]\)上，\(e^{-1} \leq e^{-x^2} \leq 1\)

由积分中值定理，存在\(\xi \in [0,1]\)使

\(\int_0^1 e^{-x^2} dx = e^{-\xi^2}\)

所以\(e^{-1} \leq \int_0^1 e^{-x^2} dx \leq 1\)

练习题5.3：证明题

设\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续且单调增加，证明：

\(\int_a^b x f(x) dx \geq \frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) dx\)

证明：令\(F(x) = \int_a^x f(t) dt\)，则\(F'(x) = f(x)\)

考虑函数\(G(x) = \int_a^x t f(t) dt - \frac{a+x}{2} \int_a^x f(t) dt\)

\(G'(x) = x f(x) - \frac{1}{2} \int_a^x f(t) dt - \frac{a+x}{2} f(x)\)

= \(\frac{x-a}{2} f(x) - \frac{1}{2} \int_a^x f(t) dt\)

由积分中值定理，\(\int_a^x f(t) dt = f(\xi)(x-a)\)，其中\(\xi \in [a,x]\)

由于\(f(x)\)单调增加，\(f(\xi) \leq f(x)\)，所以\(G'(x) \geq 0\)

因此\(G(x)\)单调增加，\(G(b) \geq G(a) = 0\)，证毕。

微积分基本定理

牛顿-莱布尼茨公式（N-L公式）

$$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) = F(x) \big|_a^b$$

⚠️ 易错点提醒：使用N-L公式的前提是\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续！如果有间断点，需要分段处理。

练习题6.1：基本计算

计算 \(\int_0^{\pi} (\sin x + \cos x) dx\)

解：原式 = \((-\cos x + \sin x) \big|_0^{\pi}\)

= \((-\cos\pi + \sin\pi) - (-\cos 0 + \sin 0)\)

= \((1+0) - (-1+0) = 2\)

练习题6.2：分段函数

计算 \(\int_{-1}^2 |x| dx\)

解：分段处理：

\(\int_{-1}^2 |x| dx = \int_{-1}^0 (-x) dx + \int_0^2 x dx\)

= \(-\frac{1}{2}x^2 \big|_{-1}^0 + \frac{1}{2}x^2 \big|_0^2\)

= \(0 - (-\frac{1}{2}) + (2-0) = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}\)

练习题6.3：综合应用

设\(f(x) = \begin{cases} x^2, & 0 \leq x \leq 1 \\ 2-x, & 1 < x \leq 2 \end{cases}\)，求\(\int_0^2 f(x) dx\)

解：分段积分：

\(\int_0^2 f(x) dx = \int_0^1 x^2 dx + \int_1^2 (2-x) dx\)

= \(\frac{1}{3}x^3 \big|_0^1 + \left(2x - \frac{1}{2}x^2\right) \big|_1^2\)

= \(\frac{1}{3} + \left[(4-2) - (2-\frac{1}{2})\right]\)

= \(\frac{1}{3} + \left[2 - \frac{3}{2}\right] = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}\)

华莱士(Wallis)公式/"点火"公式

点火公式

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x dx = \begin{cases} \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2}, & n\text{为偶数}\\ \frac{(n-1)!!}{n!!}, & n\text{为奇数} \end{cases}$$

🔥 点火口诀：偶数最后乘\(\frac{\pi}{2}\)点火，奇数最后乘1点火！

sinⁿx的积分规律可视化

当前：∫₀^{π/2} sin¹x dx = 1 · 计算过程：1

练习题7.1：偶数次幂

计算 \(\int_0^{\pi/2} \sin^6 x dx\)

解：n=6为偶数：\(\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{15\pi}{96} = \frac{5\pi}{32}\)

练习题7.2：奇数次幂

计算 \(\int_0^{\pi/2} \sin^5 x dx\)

解：n=5为奇数：\(\frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{8}{15}\)

练习题7.3：综合应用

计算 \(\int_0^{\pi} \sin^8 \frac{x}{2} dx\)

解：令\(t = \frac{x}{2}\)，则\(dx = 2dt\)，当\(x=0\)时\(t=0\)，当\(x=\pi\)时\(t=\pi/2\)

原式 = \(\int_0^{\pi/2} \sin^8 t \cdot 2dt = 2\int_0^{\pi/2} \sin^8 t dt\)

n=8为偶数：\(\frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}\)

= \(\frac{105\pi}{2048} \times 2 = \frac{105\pi}{1024}\)

反常积分

1. 无穷区间上的反常积分

$$\int_a^{+\infty} f(x)dx = \lim_{t \to +\infty} \int_a^t f(x)dx$$

2. 无界函数的反常积分（瑕积分）

$$\int_a^b f(x)dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x)dx \quad (a为瑕点)$$

p-积分收敛性：

  • \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx\)：当\(p>1\)时收敛，\(p \leq 1\)时发散
  • \(\int_0^1 \frac{1}{x^p} dx\)：当\(p<1\)时收敛，\(p \geq 1\)时发散

反常积分可视化

无穷区间：∫₁^∞ 1/x² dx

瑕积分：∫₀¹ 1/√x dx

当前积分：∫₁^t 1/x² dx · 极限值：1 · 收敛性：收敛

练习题8.1：无穷区间积分

计算 \(\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x\sqrt{x}}\)

解：\(\int_1^{+\infty} x^{-3/2} dx = \left(-2x^{-1/2}\right) \big|_1^{+\infty}\)

= \(\lim_{t \to +\infty} (-2t^{-1/2}) - (-2) = 0 + 2 = 2\)

练习题8.2：瑕积分

计算 \(\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}}\)

解：\(\int_0^1 x^{-1/2} dx = \lim_{t \to 0^+} \int_t^1 x^{-1/2} dx\)

= \(\lim_{t \to 0^+} \left(2\sqrt{x} \big|_t^1\right) = \lim_{t \to 0^+} (2 - 2\sqrt{t}) = 2\)

练习题8.3：敛散性判断

判断下列积分的敛散性：

(1) \(\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^2+1}\)

(2) \(\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\)

(3) \(\int_0^{+\infty} e^{-x} dx\)

解：

(1) 收敛。因为\(\frac{1}{x^2+1} \leq \frac{1}{x^2}\)，而\(\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^2}\)收敛

(2) 收敛。这是瑕积分，瑕点为1，但\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \sim \frac{1}{\sqrt{2(1-x)}}\)，p=1/2<1

(3) 收敛。\(\int_0^{+\infty} e^{-x} dx = \left(-e^{-x}\right) \big|_0^{+\infty} = 1\)

综合练习与总结

重要公式总结

N-L公式

\(\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\)

变限积分求导

\(\frac{d}{dx} \int_{u(x)}^{v(x)} f(t) dt = f[v(x)]v'(x) - f[u(x)]u'(x)\)

分部积分

\(\int u dv = uv - \int v du\)

积分中值定理

\(\int_a^b f(x) dx = f(\xi)(b-a)\)

综合练习题

1. 计算 \(\int_0^{\pi/2} e^{2x} \cos x dx\)

2. 设\(F(x) = \int_0^{x^3} \frac{\sin t}{t} dt\)，求\(F'(x)\)

3. 证明：\(\int_0^1 \frac{dx}{1+x^2} = \frac{\pi}{4}\)

解：

1. 设\(I = \int_0^{\pi/2} e^{2x} \cos x dx\)，分部积分两次得循环方程：

\(I = \frac{1}{5}e^{\pi} - \frac{2}{5}\)

2. \(F'(x) = \frac{\sin(x^3)}{x^3} \cdot 3x^2 = \frac{3\sin(x^3)}{x}\)

3. 令\(x = \tan t\)，则\(dx = \sec^2 t dt\)，当\(x=0\)时\(t=0\)，当\(x=1\)时\(t=\pi/4\)

原式 = \(\int_0^{\pi/4} \frac{\sec^2 t}{1+\tan^2 t} dt = \int_0^{\pi/4} dt = \frac{\pi}{4}\)

学习总结：通过本章学习，我们掌握了定积分的定义、性质、计算方法（换元法、分部积分法）和应用。每个知识点都配有练习题，通过练习巩固理解。

关键点：理解黎曼和的极限思想，掌握N-L公式，熟练运用换元法和分部积分法，会判断反常积分的敛散性。

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